Fibonacci Fermat numbers
Lucas(2^m)

(OEIS A001566) 

F(2^(m+1))/F(2^m) = L(2^m)

 m L(2^m)
 1 3
 2 7
 3 47 
 4 2207
 5 1087 * 4481
 6 127 * 186812208641
 7 119809 * 4698167634523379875583
 8 34303 * 73327699969 * 125960894984050328038716298487435392001
 9 21503 * 455666699738584063 * 1019850606646830767915009 * P(62) 10045901211945615185770822340063765796721091525356133475714047
10 85386449571091580927 * 2359309429082740633601 * P(173)  50023002657441668505734051281798632006164815525563108785740688607215220816049385513420452786904754250297381898342562475311659851996080980941281231807930745342088837303971841
11 234602220005904383 * 508554680008613233535157453643985833492021249 * C(366)
12 65241089 * 5267802182934527 * 8062717056676802145608908801 * P(805) 3721708761782680195882889164990216265431478742132210774665752113206321162000685519998620801478845601905587793652449035548379285598295686363969119660129396199382810671631323321289350584785701455247533669767864716529657751114817395008903413938636340906966123146445071451550117670182119619050621720635450433682950008810211414673854244498301336476922369183776597578327716017535469001378916273784900931009907580991877138272576883068442538303396262797674820397892360067289440550053870136892455809253202669694659703421678035151317998403002015021521168175741504645079030019941180535167643892882388148446136265570084071986164082444778149951628372136629592455606431322252419262509602311049587192846854987373938550847423864644441470512598599972069813280079565014173461252073474325395065544057200550399277339181088769
13 C(1713)

3+1 = 2^2
7+1 = 2^3
47+1 = 2^4 * 3
2207+1 = 2^5 * 3 * 23
1087+1 = 2^6 * 17
4481-1 = 2^7 * 5 * 7
127+1 = 2^7
186812208641-1 = 2^9 * 5 * 67 * 773 * 1409
119809-1 = 2^10 * 3^2 * 13
4698167634523379875583+1 = 2^8 * 3 * 11 * 264263 * 2104448211241
34303+1 = 2^9 * 67
73327699969-1 = 2^11 * 3 * 11934847
125960894984050328038716298487435392001-1 = 2^10 * 5^3 * 2056608571 * 37999510217 * 12592040960827
21503+1 = 2^10 * 3 * 7
455666699738584063+1 = 2^10 * 3064979 * 145184359
1019850606646830767915009-1 = 2^14 * 7 * 41 * 7649 * 28355026768249
P(62)+1 = 2^10 * 3^4 * 7 * 224210609191 * 49032183958309 * 1573868673479678914381947293549
85386449571091580927+1 = 2^11 * 3 * 1531 * 9077422671377
2359309429082740633601-1 = 2^12 * 5^2 * 7433 * 3099708212483
P(173)-1 = 2^12 * 5 * 61 * 186515970186953969 * C()
234602220005904383+1 = 2^12 * 3^3 * 907 * 2338843261
508554680008613233535157453643985833492021249-1 = 2^16 * 3 * 7 * 3449 * 2791367 * 38382061384933288890850956851
65241089-1 = 2^15 * 11 * 181
5267802182934527+1 = 2^13 * 3^2 * 499 * 2699 * 53051
8062717056676802145608908801-1 = 2^14 * 3 * 5^2 * 7 * 937350848292968999443
P(805)-1 = 2^15 * 225089 * 8633921 * 67519507198811 * C()


47 = 3*2^4-1 = L(2^3)
2207 = 69*2^5-1 = L(2^4)

 1087 = 17*2^6-1 L(2^5)
21503 = 21*2^10-1 L(2^9)
34303 = 67*2^9-1 L(2^8)

4481 = 35*2^7+1 L(2^5)



Fibonacci Shanks
(OEIS A002814)

m F(3^(m+1))/F(3^m)
0 2
1 17
2 53 * 109
3 2269 * 4373 * 19441
4 448607550257 * 16000411124306403070561
5 112449868882584427122497 * 9609296992394725016206404165562861 * 342249318383371139020458697145863564912038901 
6 303701402509217 * 41618896113209483535601111034221 * 6615930521990445773116276695618542287261.2613603920286606399688700198707764940333294021 * P(174)
7 1248523691381101 * 358246540573322097617 * 1231884948266005919430948847477894981 * C(843)
8 C(2743)
9 2716253 * C(8221)

m F(5^(m+1))/F(5^m)
0 5
1 5 * 3001
2 5 * 158414167964045700001
3 5 * 532501 * 28849565804292967113209415835001 * 4058732337480272357397526057719737468148541858623561199073004257501
4 5 * 3937501 * 44862200200952800831412501 * C(490)
5 5 * 289312501 * C(2604)
6 5 * C(13062) ...
7 5 * 9375001 * 985937501 * C(65292) ...


m F(7^(m+1))/F(7^m)
0 13
1 97 * 6168709 
2 46649 * 5449038756620509 * 108944170944009875978306751482234414702393
3 415159185845473 * C(416)
4 33613 * 1244390281 * 303636726561711089 * C(2980)
5 70589401 * C(21067)

m F(11^(m+1))/F(11^m)
0 89
1 97415813466381445596089
2 75719418650789 * 6954917296541477 * 51541418566526045663196584751576069388802909 * P(180)

m F(13^(m+1))/F(13^m)
0 233
1 337 * 89909 * 104600155609 * 126213229732669
2 247518413 * 11158064702254278353 * 8923252312625774237535172427423079233669 * C(357)

m F(17^(m+1))/F(17^m)
0 1597
1 577 * 1733 * 98837 * 101232653 * 106205194357 * 658078658277725444483848541 
2 32778821148673 * 148486296546968910307904087650961 * C(921)

m F(19^(m+1))/F(19^m)
0 37 * 113
1 6567762529 * 1196762644057 * 3150927827816930878141597 * 12020126510714734783009241
2 


   6 L3 F3
  36 L18 L9 F9
 216 L108 L54 L27 F27
1296 L648 L324 L162 L81 F81

  L(3)= 2^2
  L(9)= 2^2 * 19 
 L(27)= 2^2 * 19 * 5779 
 L(81)= 2^2 * {19} * 3079 * 5779 * 62650261 
 
  L(18)= 2 * 3^3 * 107
  L(54)= 2 * 3^4 * 107 * 11128427
 L(162)= 2 * 3^5 * (107) * 11128427 * 1828620361 * 6782976947987
 
 L(108)= 2 * 7 * 23 * 6263 * 103681 * 177962167367
 L(324)= 2 * 7 * 23 * (647) * 6263 * 103681 * 12340209383 * 177962167367 * 173421718166321520831726341471281 
 
 L(648)= 2 * 47 * 1103 * 3023 * 19009 * 68687 * 447901921 * 10749957121 * 48265838239823 * 18821014311299403023 * 856532133777030350222881 * 1731407737563604036770895447081913182731841