Pierre de Fermat (1601-1665) (Wikipedia) (Oeuvres de Fermat)
(Pierre de Fermat to Bernard Frénicle de Bessy, August 1640) 1. Soit par exemple la progression double depuis le binaire avec ses exposants au-dessus: For example, consider the double progression from binary with its exponents above: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384 32768 65536 Je dis que, si vous augmentez les nombres de la progression de l'unité, et que vous fassiez 3, 5, 9, 17, etc., I say that, if you increase the numbers of the progression by one, and make 3, 5, 9, 17, etc., tous les dits nombres progressifs ainsi augmentés, all the said progressive numbers thus increased, qui se trouveront avoir pour exposants des nombres qui ne sont pas de la dite progresssion double, seront nombres composés. which happen to have as exponents numbers which are not of the said double progression, will be composite numbers. 2. Bien qu'on puisse faire une anatomie particulière qui est trop longue à décrire, Although one can make a particular anatomy which is too long to describe, il suffit de faire comprendre, dans l'exemple qui suit, la proposition que j'y ai faite : it is sufficient to make clear, in the example which follows, the proposition which I made there: Soit le nombre progressif augmenté de l'unité 8193, duquel l'exposant est 13 nombre premier. Let the progressive number increased by the unit be 8193, whose exponent is 13, a prime number. Je dis que, si vous divisez 8193 par 3, le quotient ne pourra être divisé que par un nombre qui surpasse de l'unité I say that, if you divide 8193 by 3, the quotient can only be divided by a number which exceeds by the unit ou le double de 13 exposant susdit, ou un multiple dudit double de 13, etc., à l'infini. or by double 13 the aforementioned exponent, or by a multiple of said double 13, etc., to infinity. (He observed this: if p is a "non-algebraic" divisor of a^n-1 then p=kn+1) Que si l'exposant est un nombre composé, qui pourtant ne soit pas un de ceux de progression double, That if the exponent is a composite number, which is not one of those of double progression, je puis trouver tous les diviseurs fort aisément. I can find all the divisors very easily. 3. Mais voici ce que j'admire le plus : But here is what I admire most: c'est que je suis quasi persuadé que tous les nombres progressifs augmentés de l'unité, it is that I am almost convinced that all progressive numbers increased by unity, desquels les exposants sont des nombres de la porgression double, sont nombres premiers, comme whose exponents are numbers of the double progression, are prime numbers, as 3 5 17 257 65537 4294967297 and the next one of 20 digits 18446744073709551617 etc. Je n'ai pas la démonstration exacte, I do not have the exact demonstration, mais j'ai exclu si grande quantité de diviseurs par démonstrations infaillibles, but I have excluded such a large quantity of divisors by infallible demonstrations, et j'ai de si grandes lumières, qui établissent ma pensée, and I have such great enlightenment, which establishes my thought, que j'aurois peine à me dédire. that I would have difficulty in going back on my word.
(Pierre de Fermat to Marin Mersenne, December 25, 1640) Je languissois dans l'attente de vos lettres et de M. de Frenicle. I was languishing in anticipation of your letters and of M. de Frenicle. Je suis bien aise qu'il approuve ce que j'ai fait ; et afin qu'il ne soit plus en doute de ce que je lui demande, I am very pleased that he approves of what I have done; and so that he may no longer be in doubt about what I am asking of him, voici trois questions que je lui propose, pource que les spéculations que j'y ai faites ne me satisfont pas pleinement : here are three questions that I propose to him, because the speculations that I have made there do not fully satisfy me: 1° La raison essentielle pourquoi 3, 5, 17, 257, etc. à l'infini, sont toujours nombres premiers ; The essential reason why 3, 5, 17, 257, etc. to infinity, are always prime numbers; 2° Qu'il me donne quelqu'un de ses autres moyens pour trouver à l'infini des nombres premiers de tels nombres de figures qu'on voudra. Let him give me some of his other means for finding infinite prime numbers of such numbers of figures as one wants. Sur quoi je voudrois être éclairci si une de mes pensées est vraie, qu'en la progression d'un nombre pair, comme 6, On which I would like to be enlightened if one of my thoughts is true, that in the progression of an even number, like 6, /* 6+1 = 7 6^2+1 = 37 6^4+1 = 1297 6^8+1 = 1679617 = 17 * 98801 6^16+1 = 2821109907457 = 353 * 1697 * 4709377 10+1 = 11 10^2+1 = 101 10^4+1 = 10001 = 73 * 137 10^8+1 = 100000001 = 17 * 5882353 10^16+1 = 10000000000000001 = 353 * 449 * 641 * 1409 * 69857 12+1 = 13 12^2+1 = 145 = 5 * 29 12^4+1 = 20737 = 89 * 233 12^8+1 = 429981697 = 17 * 97 * 260753 12^16+1 = 184884258895036417 = 153953 * 1200913648289 14+1 = 15 = 3 * 5 14^2+1 = 197 14^4+1 = 38417 = 41 * 937 14^8+1 = 1475789057 = 17 * 5393 * 16097 14^16+1 = 2177953337809371137 = 193 * 11284732320255809 */ toutes les puissances + 1 de la progression qui ont pour exposant : 1, 2, 4, 8, 16, etc. sont nombres premiers, all the powers + 1 of the progression which have for exponent: 1, 2, 4, 8, 16, etc. are prime numbers, si elles ne sont pas mesurées par un de ceux-ci : 3, 5, 17, 257, etc. ; if they are not measured by one of these: 3, 5, 17, 257, etc.; laquelle proposition, si elle est vraie, est de très grand usage. which proposition, if it is true, is of very great use. Si je puis une fois tenir la raison fondamentale que 3, 5, 17, etc. sont nombres premiers, If I can once hold the fundamental reason that 3, 5, 17, etc. are prime numbers, il me semble que je trouverai de très belles choses en cette matière, it seems to me that I will find very beautiful things in this matter, car déjà j'ai trouvé des choses merveilleuses dont je vous ferai part, après que j'aurai eu votre réponse et celle de M. Frenicle. because I have already found marvelous things which I will share with you, after I have had your response and that of Mr. Frenicle. 3° Je lui demande un moyen plus général que celui que j'ai inventé pour savoir quels sont les multiples de l'exposant utiles à la division. I ask him for a more general means than the one I invented to know which are the multiples of the exponent useful for division. Après cela, je travaillerai aux propositions que vous me demandez. After that, I will work on the proposals you ask me for.
(Yves Gallot's genefer)